Programación antienvejecimiento en colas de un solo servidor: un estudio sistemático y comparativo, parte 1

Abstracto: La era de la información (AoI) es una nueva métrica de rendimiento propuesta recientemente para medir la frescura de la información en los sistemas de actualización de información. En este trabajo, llevamos a cabo un estudio sistemático y comparativo para investigar el impacto de las políticas de programación en el rendimiento de AoI en colas de un solo servidor y brindamos pautas útiles para el diseño de políticas de programación eficientes de AoI. Específicamente, primero realizamos simulaciones extensas para demostrar que la información del tamaño de la actualización se puede aprovechar para lograr un AoI sustancialmente mejorado en comparación con las políticas no basadas en el tamaño (o basadas en el tiempo de llegada). Luego, utilizando tanto el tamaño de la actualización como la información de la hora de llegada, proponemos tres políticas basadas en AoI. Al observar un rendimiento mejorado de AoI de las políticas que permiten la prioridad del servicio y que priorizan las actualizaciones informativas, también proponemos políticas de programación preventivas, informativas y basadas en AoI. Los resultados de nuestra simulación muestran que tales políticas logran empíricamente el mejor desempeño de AoI entre todas las políticas consideradas. Sin embargo, en comparación con las mejores políticas eficientes en demoras (como el tiempo de procesamiento restante más corto (SRPT)), la mejora del AoI es bastante marginal en los entornos con llegadas exógenas. Curiosamente, también probamos la equivalencia de ruta de muestra entre algunas políticas basadas en tamaño y políticas basadas en AoI. Esto proporciona una explicación intuitiva de por qué algunas políticas basadas en el tamaño (como SRPT) logran un muy buen rendimiento de AoI.

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Términos del Índice:Edad de la información, colas G/G/1, políticas de programación, información de tamaño de actualización.

I. INTRODUCCIÓN

RECIENTEMENTE, el estudio de la actualización de la información ha recibido una atención cada vez mayor, especialmente para aplicaciones sensibles al tiempo que requieren actualizaciones de información/estado en tiempo real, como alertas de congestión vial, cotizaciones de acciones y pronósticos meteorológicos. Para medir la frescura de la información, se propone una nueva métrica, llamada edad de la información (AoI). El AoI se define como el tiempo transcurrido desde la generación de la actualización más fresca entre las que ha recibido el destino [2]. Estudios previos revelan que el AoI depende tanto del tiempo entre llegadas como del retraso de las actualizaciones. Debido a la dependencia entre el tiempo entre llegadas y el retraso, esta nueva métrica AoI exhibe características muy diferentes a la métrica de retraso tradicional y, en general, es mucho más difícil de analizar (ver, por ejemplo, [2]).

Aunque es bien sabido que las políticas de programación juegan un papel importante en la reducción de la demora en las colas de un solo servidor, aún se desconoce en gran medida cómo afectan exactamente las políticas de programación al rendimiento de AoI. Con ese fin, nuestro objetivo es estudiar holísticamente el impacto de varios aspectos de las políticas de programación en el rendimiento de AoI en colas de un solo servidor y proporcionar pautas útiles para el diseño de políticas de programación que pueden lograr un AoI pequeño.

Si bien ya se ha realizado un gran esfuerzo de investigación en el diseño y análisis de políticas de programación con el objetivo de reducir el AoI, casi todas estas políticas solo se basan en el tiempo de llegada de las actualizaciones, como el orden de llegada (FCFS) y el último en llegar. servido (LCFS), asumiendo que la información del tamaño de la actualización no está disponible. Aquí, el tamaño de una actualización es la cantidad de tiempo necesario para publicar la actualización si no hubiera otras actualizaciones disponibles. En algunas aplicaciones, como la red inteligente y el monitoreo del tráfico, la información del tamaño de la actualización se puede obtener o estimar bastante bien [3]. Se ha demostrado que las políticas de programación que aprovechan la información de tamaño pueden reducir sustancialmente el retraso, especialmente cuando la carga del sistema es alta o cuando la variabilidad del tamaño es grande [4]. Esto nos motiva a investigar el rendimiento de AoI de las políticas basadas en el tamaño en una cola G/G/1. Tenga en cuenta que la información del tamaño de la actualización es "ortogonal" a la información del tiempo de llegada, lo que podría afectar significativamente el rendimiento del AoI. Por lo tanto, es bastante natural considerar más a fondo las políticas basadas en AoI que utilizan tanto el tamaño de la actualización como la información de la hora de llegada de las actualizaciones.

Además, el trabajo previo ha revelado que las políticas de programación que permiten la prioridad del servicio y que priorizan las actualizaciones informativas (también llamadas actualizaciones efectivas, que son aquellas que conducen a un AoI reducido una vez que se entregan; consulte la Sección VI.A para obtener una definición formal) producen una buena Rendimiento de AoI [5]–[7]. Intuitivamente, la preferencia evita que las actualizaciones nuevas sean bloqueadas por una actualización grande y/o obsoleta en el servicio; las políticas informativas descartan las actualizaciones obsoletas, que no aportan nueva información pero pueden bloquear actualizaciones nuevas. Con ese fin, también consideramos los diseños de programación basados ​​en AoI que permiten la preferencia del servicio y priorizan las actualizaciones informativas.

En la figura 1, posicionamos nuestro trabajo en la literatura al resumir varios aspectos de diseño de las políticas de programación para una cola G/G/1. El trabajo existente explora principalmente el diseño en función de la información de la hora de llegada, además de considerar la prioridad del servicio y las actualizaciones informativas. Señalamos que el diseño basado en el tamaño es una dimensión ortogonal de gran importancia, que de alguna manera aún no ha recibido suficiente atención. Como era de esperar, el diseño de políticas eficientes en AoI requiere la consideración de todas estas dimensiones. En la Tabla 1, resumimos varias pautas útiles para el diseño de políticas eficientes de AoI, que también están etiquetadas en la Fig. 1. Hasta donde sabemos, este es el primer trabajo que realiza un estudio sistemático y comparativo para investigar el diseño. de políticas de programación eficientes de AoI para una cola G/G/1. A continuación, resumimos nuestras contribuciones clave junto con una explicación de la figura 1 y la tabla 1.

Primero, investigamos el desempeño de AoI de las políticas de programación basadas en el tamaño (es decir, la flecha verde en la Fig. 1), que es un enfoque ortogonal al diseño basado en el tiempo de llegada estudiado en la mayoría de los trabajos existentes. Realizamos simulaciones exhaustivas para mostrar que las políticas basadas en el tamaño que dan prioridad a las actualizaciones pequeñas mejoran significativamente el rendimiento de AoI. También explicamos observaciones interesantes de los resultados de la simulación y resumimos lineamientos útiles (es decir, Lineamientos 1, 2 y 3 en la Tabla 1) para el diseño de políticas eficientes de AoI.

En segundo lugar, aprovechando la información sobre el tamaño de la actualización y la hora de llegada, presentamos la Directriz 4 y proponemos políticas de programación basadas en AoI (es decir, la flecha azul en la Fig. 1). Estas políticas basadas en AoI intentan optimizar el AoI en un instante futuro específico desde tres perspectivas diferentes: la política AoI cae antes (ADE), que hace que el AoI caiga antes; la política de reducción del AoI al mínimo (ADS), que hace que el AoI disminuya al mínimo; la política AoI drop most (ADM), que hace que el AoI caiga más. Los resultados de la simulación muestran que tales políticas basadas en AoI tienen un buen desempeño de AoI.

En tercer lugar, observamos que las políticas informativas pueden mejorar significativamente el desempeño de AoI en comparación con sus contrapartes no informativas, lo que lleva a la Pauta 5. Al integrar todas las pautas, proponemos políticas preventivas, informativas y basadas en AoI (es decir, la flecha roja en la Fig. 1). Los resultados de la simulación muestran que tales políticas logran empíricamente el mejor desempeño de AoI entre todas las políticas consideradas.

Finalmente, probamos la equivalencia de ruta de muestra entre algunas políticas basadas en tamaño y políticas basadas en AoI. Estos resultados brindan una explicación intuitiva de por qué algunas políticas basadas en el tamaño, como el tiempo de procesamiento restante más corto (SRPT), logran un muy buen rendimiento de AoI.

Para resumir, nuestro estudio revela que, entre varios aspectos de las políticas de programación, investigamos, priorizar las actualizaciones pequeñas, permitir la preferencia del servicio y priorizar las actualizaciones informativas juegan el papel más importante en el diseño de políticas de programación eficientes. Sin embargo, en comparación con las mejores políticas eficientes en demoras (como SRPT), la mejora de AoI de las políticas preventivas, informativas y basadas en AoI es bastante marginal en los entornos con llegadas exógenas. Además, cuando el requisito de AoI no es estricto o la información del tamaño de la actualización no está disponible, algunas políticas sencillas eficientes en demoras (como LCFS con preferencia (LCFS_P)) también son buenas candidatas para políticas eficientes en AoI. .

El resto de este documento está organizado de la siguiente manera. Primero discutimos el trabajo relacionado en la Sección II. Luego, describimos nuestro modelo de sistema en la Sección III. En la Sección IV, evaluamos el desempeño de AoI de las políticas de programación basadas en el tamaño. Además, proponemos políticas de programación basadas en AoI en la Sección V. Además, evaluamos el desempeño de AoI de las políticas preventivas, informativas y basadas en AoI en la Sección VI. Finalmente, hacemos comentarios finales en la Sección VII.

II. TRABAJO RELACIONADO

La literatura tradicional sobre colas en colas de un solo servidor se centra principalmente en el análisis de retrasos. En [8], los autores prueban que todas las políticas de programación no preventiva que no utilizan información sobre el tamaño del trabajo tienen la misma distribución del número de trabajos en el sistema. El trabajo de [9], [10] demuestra que para una cola de conservación de trabajo, la política SRPT minimiza el número de trabajos en el sistema en cualquier punto y, por lo tanto, es un retardo óptimo. El trabajo de [11] deriva una fórmula para el retraso promedio para varias políticas de programación comunes (que se discutirán en la Sección IV).

Por otro lado, aunque la investigación de AoI todavía se encuentra en una etapa incipiente, ya ha atraído mucho interés (ver [12], [13] para una encuesta). Aquí solo discutimos el trabajo más relevante, que se centra en el análisis de colas orientado a AoI. Gran parte del trabajo existente considera políticas de programación que se basan en la hora de llegada (como FCFS y LCFS). El AoI se presenta en [2], donde los autores estudian el AoI promedio en las colas M/M/1, M/D/1 y D/M/1 bajo la política FCFS. En [14] se estudia el rendimiento AoI de la política FCFS en las colas M/M/1/1 y M/M/1/2, donde los recién llegados se descartan si el búfer está lleno. En [15], los autores estudian el rendimiento promedio de AoI de una cola FCFS M/G/1 de múltiples fuentes. Obtienen la expresión exacta y tres aproximaciones del AoI promedio para un caso especial de una cola M/M/1 y un caso general de una cola M/G/1, respectivamente. El AoI promedio de la política LCFS en la cola M/M/1 también se analiza en [14].

Ha habido algún trabajo que tiene como objetivo reducir el AoI haciendo uso de la preferencia de servicio. En [16], se analiza el AoI promedio de LCFS en la cola M/M/1 con y sin preferencia de servicio. El trabajo de [17] es bastante similar al de [16], pero considera el AoI promedio en la cola M/M/2. En [18], se deriva el AoI promedio para el sistema preventivo M/G/1/1 con una fuente de actualizaciones de transmisión múltiple. La edad óptima de la política LCFS preventiva (LCFS_P) se demuestra en [5], donde los tiempos de servicio se distribuyen exponencialmente.

Además de aprovechar la preferencia de servicio, algunos de los estudios previos también consideran la estrategia de priorizar actualizaciones informativas para reducir el AoI. El trabajo de [6], [7] revela que el rendimiento de AoI se puede mejorar priorizando actualizaciones informativas y descartando políticas no informativas al tomar decisiones de programación. En [19], los autores consideran una cola G/G/1 con actualizaciones informativas y derivan la distribución estacionaria del AoI, que es en términos de la distribución estacionaria del retraso y el pico del AoI (PAoI). Con la distribución de AoI, se pueden analizar los momentos medios o superiores de AoI en las colas GI/GI/1, M/GI/1 y GI/M/1 bajo varias políticas de programación (p. ej., FCFS y LCFS).

También se ha realizado un esfuerzo de investigación reciente para comprender la relación entre el AoI y el retraso. En [20], los autores analizan el compromiso entre el AoI y el retraso en un sistema M/G/1 de un solo servidor bajo una política de programación específica sin conocer el tiempo de servicio de cada actualización. En [21], la probabilidad de violación del retraso y el PAoI se investiga bajo un canal de ruido gaussiano blanco aditivo (AWGN), pero se supone que el tamaño de actualización es idéntico.

tercero MODELO DE SISTEMA

En esta sección, consideramos un sistema de colas de servidor único y damos las definiciones de AoI y PAoI.

Modelamos el sistema de actualización de información como una cola G/G/1 donde una sola fuente genera actualizaciones (que contienen el estado actual de una medición u observación de la fuente) con tasa λ. Las actualizaciones ingresan al sistema de colas inmediatamente después de que se generan. Por lo tanto, el tiempo de generación es el mismo que el tiempo de llegada. Usamos S para indicar el tamaño de una actualización (es decir, la cantidad de tiempo necesario para que la actualización complete el servicio), que tiene una distribución general con media E [S ]=1/µ. La carga del sistema se define como ρ, λ/µ.

Usamos ti y t I {{0}} para indicar el momento en que se generó la i-ésima actualización en la fuente y el momento en que deja el servidor, respectivamente. El AoI en el tiempo t se define entonces como ∆(t), t − U(t), donde U (t), max n ti: t I 0 Menor o igual que es el tiempo de generación de la actualización más reciente entre esas que han sido procesados ​​por el servidor. En la Fig. 2 se muestra un ejemplo de la evolución del AoI bajo la política FCFS. Luego, el AoI promedio se puede definir como

En general, el análisis del AoI promedio es bastante difícil ya que está determinado por dos cantidades dependientes: el tiempo entre llegadas y el retraso de las actualizaciones [2]. Definimos el tiempo entre llegadas entre la i-ésima actualización y la (i − 1)-ésima actualización como Xi, ti − ti−1 y definimos el retraso de la i-ésima actualización como Ti, t I 0 − ti. Alternativamente, el PAoI también se propone como una métrica de actualización de la información [6], que se define como el valor máximo del AoI antes de que caiga debido a una nueva actualización recién entregada. Sea Ai el iésimo PAoI. De la Fig. 2, podemos ver Ai=t i 0 − ti−1. Esto se puede reescribir como la suma del tiempo entre llegadas entre la i-ésima actualización y la actualización anterior (es decir, Xi) y el retraso de la i-ésima actualización (es decir, Ti). Por lo tanto, el PAoI de la i-ésima actualización también se puede expresar como Ai=Xi más Ti, y su expectativa es E[Ai]=E[Xi] más E[Ti].

IV. POLÍTICAS BASADAS EN EL TAMAÑO

En esta sección, investigamos el rendimiento de AoI de varias políticas de programación comunes, incluidas las políticas basadas en el tamaño y las políticas no basadas en el tamaño, a través de simulaciones exhaustivas. Tenga en cuenta que estas políticas de programación comunes pueden proporcionar actualizaciones no informativas (que no conducen a una AoI reducida). Esto se debe a que, en algunas aplicaciones, como noticias y redes sociales, las actualizaciones obsoletas siguen siendo útiles y deben ser atendidas [5]. En la Sección VI, discutiremos el caso en el que se descartan las actualizaciones obsoletas.

Siguiendo [4], primero damos las definiciones de varias políticas de programación comunes que se pueden dividir en cuatro tipos: Dependiendo de si están basadas en el tamaño o no, donde las políticas basadas en el tamaño usan la información de actualización del tamaño (que está disponible en algunas aplicaciones, como la red inteligente [3]) para tomar decisiones de programación; dependiendo de si son preventivos o no. La definición de preferencia se da a continuación. En este documento, no consideramos el costo de la preferencia.

Definición 1.Una política es preventiva si una actualización puede detenerse a la mitad de su ejecución y luego reiniciarse más tarde sin perder el trabajo intermedio.

El primer tipo consta de políticas que no son preventivas y ciegas al tamaño de la actualización:

• Por orden de llegada (FCFS): cuando el servidor se libera, elige entregar la actualización que llegó primero, si corresponde.

• Último en llegar, primero en ser atendido (LCFS): cuando el servidor se libera, elige entregar la actualización que llegó en último lugar, si corresponde.

• Servicio de orden aleatorio (RANDOM): cuando el servidor se libera, elige aleatoriamente una actualización para servir, si corresponde.

El segundo tipo consta de políticas que no son preventivas y toman decisiones de programación en función del tamaño de la actualización:

• El trabajo más corto primero (SJF): cuando el servidor se libera, elige entregar la actualización con el tamaño más pequeño, si corresponde. El tercer tipo consiste en políticas que son preventivas y ciegas al tamaño de la actualización:

• Procesador compartido (PS): Todas las actualizaciones en el sistema se sirven simultáneamente y por igual (es decir, cada actualización recibe una fracción igual de la capacidad de servicio disponible).

• Preferente por último en llegar, primero en ser atendido (LCFS_P): esta es la versión preventiva de la política LCFS. Específicamente, ocurre una preferencia cuando hay una nueva actualización.

El cuarto tipo consta de políticas que son preventivas y toman decisiones de programación en función del tamaño de la actualización:

• Primero el trabajo más corto preventivo (SJF_P): esta es la versión preventiva de la política SJF. Específicamente, ocurre una preferencia cuando hay una nueva actualización que tiene el tamaño más pequeño.

• Tiempo de procesamiento restante más corto (SRPT): cuando el servidor se activa, elige servir la actualización con el tamaño restante más pequeño. Además, una preferencia ocurre solo cuando hay una nueva actualización cuyo tamaño es más pequeño que el tamaño restante de la actualización en servicio.

El trabajo previo (ver, por ejemplo, [4, Sección VII]) revela que las políticas basadas en el tamaño pueden mejorar en gran medida el rendimiento del retraso. Debido a estos resultados, conjeturamos que las políticas basadas en el tamaño también logran un mejor desempeño del AoI dado que el AoI está predominantemente determinado por el retraso cuando la carga del sistema es alta o cuando la variabilidad del tamaño es grande [2]. Como mencionamos anteriormente, en general es muy difícil obtener la expresión exacta del AoI promedio, excepto en algunos casos especiales (p. ej., FCFS y LCFS) [2], [19]. Por lo tanto, intentamos investigar las políticas basadas en el tamaño del desempeño de AoI a través de simulaciones extensas.

En las Figs. 3 y 4, presentamos los resultados de la simulación del desempeño promedio de AoI y PAoI bajo las políticas de programación que introdujimos anteriormente, respectivamente. Hay tres métodos comúnmente utilizados para realizar la simulación: replicaciones independientes, medios por lotes y regeneración. Aquí, usamos las aplicaciones independientes por las siguientes razones: (i) La replicación significa volver a ser independientes; (ii) permite iniciar las réplicas individuales en diferentes estados iniciales, de modo que se pueden observar varias rutas de muestra del proceso estocástico subyacente. Específicamente, realizamos 50 simulaciones y tomamos los valores promedio. En cada ejecución de simulación, consideramos un número total de 105 actualizaciones para garantizar que se alcance el estado estable. Todos los números aleatorios se generan utilizando el generador de números pseudoaleatorios predeterminado (es decir, el Mersenne Twister) en la biblioteca estándar de Python. Aquí, asumimos que una sola fuente genera actualizaciones de acuerdo con un proceso de Poisson con tasa λ, y el tamaño de la actualización es independiente e idénticamente distribuido (iid). En la Fig. 3(a), asumimos que el tamaño de la actualización sigue una distribución exponencial con media 1/µ=1. En las Figs. 3(b) y 3(c), asumimos que el tamaño de actualización sigue una distribución de Weibull1 con media 1/µ=1. Definimos el coeficiente de variación al cuadrado del tamaño de la actualización como C 2, Var (S ) /E[S ] 2, es decir, la varianza normalizada por el cuadrado de la media [4]. Por lo tanto, un C2 mayor significa una mayor variabilidad. En la Fig. 3(b), fijamos C 2=10 y cambiamos el valor de la carga del sistema ρ, mientras que en la Fig. 3(c), fijamos la carga del sistema ρ=0.7 y cambiamos el valor de C 2 . Tenga en cuenta que en todo el documento, estos ajustes de simulación se utilizan como ajustes predeterminados a menos que se especifique lo contrario. Además, los intervalos de confianza del 95 por ciento de las Figs. 3 y 4 también se proporcionan en nuestro informe técnico en línea [22], en el que observamos que el margen de error es solo una porción muy pequeña del promedio (alrededor del 1 por ciento).

A continuación, discutiremos las observaciones clave de los resultados de la simulación y propondremos pautas útiles para el diseño de políticas eficientes de AoI.

Observación 1.Las políticas basadas en el tamaño logran un mejor desempeño promedio de AoI/PAoI que las políticas no basadas en el tamaño, tanto en casos preventivos como no preventivos.

En la Fig. 3, podemos ver que para el caso no preventivo, SJF tiene un mejor rendimiento promedio de AoI que FCFS, RANDOM y LCFS en varias configuraciones. De manera similar, para el caso preventivo, SJF_P y SRPT tienen un mejor rendimiento promedio de AoI que PS y LCFS_P. Se pueden hacer observaciones similares para el rendimiento promedio de PAoI en la Fig. 4.

Observación 2.Con políticas preventivas basadas en el tamaño, el AoI/PAoI promedio disminuye a medida que aumenta la carga del sistema.

En las Figs. 3(a) y 3(b), podemos ver que bajo SJF, SJF_P y SRPT, el AoI promedio disminuye a medida que aumenta la carga del sistema ρ. Hay dos razones. Primero, cuando ρ aumenta, habrá más actualizaciones con tamaños pequeños que llegarán a la cola. Por lo tanto, las políticas basadas en el tamaño que priorizan las actualizaciones con tamaños pequeños generan caídas de AoI más frecuentes. En segundo lugar, las operaciones de preferencia evitan que las actualizaciones nuevas sean bloqueadas por una actualización grande o obsoleta en el servicio. Se pueden hacer observaciones similares para el rendimiento promedio de PAoI en las Figs. 4(a) y 4(b).

Las observaciones 1 y 2 conducen a la siguiente directriz:

Directriz 1.Cuando la información del tamaño de la actualización está disponible, se deben priorizar las actualizaciones con un tamaño pequeño.

Sin embargo, en determinados escenarios de aplicación, es posible que la información sobre el tamaño de la actualización no esté disponible o sea difícil de estimar. Por lo tanto, las decisiones de programación deben tomarse sin la información actualizada. En tales escenarios, hacemos las siguientes observaciones de las Figs. 3 y 4.

Observación 3.LCFS y LCFS_P logran el mejor rendimiento promedio de AoI entre las políticas no preventivas y no basadas en el tamaño y las políticas preventivas y no basadas en el tamaño, respectivamente.

Observación 4.Bajo LCFS_P, el AoI/PAoI promedio disminuye a medida que aumenta la carga del sistema.

Las observaciones 3 y 4 también se han realizado en trabajos previos [5], [14], [23]. Es bastante intuitivo que cuando la información del tamaño de la actualización no está disponible, se debe dar mayor prioridad a las actualizaciones más recientes. Esto se debe a que, si bien todas las actualizaciones tienen el mismo tiempo de servicio esperado, la actualización más reciente llega la última y, por lo tanto, conduce al AoI más pequeño una vez entregado. Por lo tanto, las Observaciones 3 y 4 conducen a la siguiente directriz:

Directriz 2.Cuando la información sobre el tamaño de la actualización no está disponible, se deben priorizar las actualizaciones recientes.

Tenga en cuenta que las Observaciones 2 y 4 también sugieren que bajo políticas preventivas, el AoI/PAoI promedio disminuye a medida que aumenta la carga del sistema ρ. Esto se debe a que las preferencias evitan que las actualizaciones nuevas sean bloqueadas por una actualización grande o obsoleta en el servicio. Además, también hemos observado las siguientes buenas propiedades de las políticas preventivas.

Observación 5.Las políticas preventivas no solo logran un mejor desempeño promedio de AoI/PAoI que las políticas no preventivas, sino que también son menos sensibles cuando cambia la variabilidad del tamaño de la actualización, es decir, son más sólidas.

En las Figs. 3(a) y 3(b), podemos ver que las políticas preventivas (p. ej., LCFS_P, SJF_P y SRPT) generalmente tienen un mejor rendimiento promedio de AoI que las no preventivas (por ejemplo, FCFS, RANDOM, LCFS y SJF), especialmente cuando la carga del sistema es alta. En la Fig. 3(c), podemos ver que la ventaja de las políticas preventivas aumenta a medida que la variabilidad del tamaño de la actualización (es decir, C²) aumenta. Además, el rendimiento de AoI de las políticas preventivas solo se ve afectado muy levemente cuando cambia la variabilidad del tamaño de la actualización, mientras que el de las políticas no preventivas varía significativamente. Por lo tanto, las Observaciones 2, 4 y 5 conducen a la siguiente pauta:

Directriz 3.La preferencia de servicio debe emplearse cuando esté permitida.

Tenga en cuenta que las observaciones anteriores no solo son válidas para la cola M/G/1, sino que también se pueden hacer para la cola G/G/1. Se pueden encontrar más resultados de simulación para la cola G/G/1 (es decir, Figs. 16–23) en el Apéndice A y en nuestro informe técnico [22]. Además, hacemos las siguientes observaciones interesantes con respecto al promedio de PAoI y AoI en una cola G/G/1.

Observación 6.El PAoI promedio podría ser mucho más pequeño que el AoI promedio cuando el tiempo entre llegadas tiene una gran variabilidad.

En las Figs. 16(a) y 17(a), podemos ver que el PAoI promedio es mucho más pequeño que el AoI promedio para todas las políticas de programación comunes que consideramos. Esto se debe a que el tiempo entre llegadas tiene una gran variabilidad. Presentamos un ejemplo en la Fig. 5 para ilustrar que este fenómeno proviene de la gran variabilidad del tiempo entre llegadas. Consideramos tres actualizaciones: la i-ésima, la (i más 1) y la (i más 2) y las actualizaciones, que se entregan en secuencia durante (t I 0−1, t I 0 más 2 ). Sus tiempos entre llegadas son los siguientes: ti − ti−1=30, ti más 1 − ti=1, y ti más 2 − ti más 1=1; y sus tiempos de sistema son los siguientes: t I 0 − ti=1, t I 0 más 1−ti más 1=1, y t I 0 más 2−ti más 2 =1. Además, también asumimos t I 0−1 − ti−1=1. Por lo tanto, el AoI promedio y el PAoI promedio durante (t I 0−1, t I 0 más 2) son 312 más 2 2 más 2 2 −3 × {{ 33}} /2 × (30 más 1 más 1) ≈ 15,09 y 31 más 2 más 2/3 ≈ 11,67, respectivamente. En este caso, el PAoI promedio es de hecho más pequeño que el AoI promedio.

Observación 7.Si bien el rendimiento promedio de AoI de varias políticas no preventivas (como RANDOM, LCFS y SJF) es sensible a la variabilidad del tamaño de actualización, su rendimiento promedio de PAoI no lo es.

En la Fig. 4(c), observamos que, si bien el desempeño PAoI promedio de FCFS es sensible a la variabilidad del tamaño de la actualización, bajo varias políticas no preventivas (como RANDOM, LCFS y SJF), el desempeño PAoI promedio es mucho mayor. menos sensitivo. Una explicación para esta observación es la siguiente.

Primero, explicamos por qué el PAoI promedio bajo FCFS aún es sensible a la variabilidad del tamaño de actualización. Tenga en cuenta que una diferencia clave entre FCFS y otras políticas no preventivas es que bajo FCFS, cada actualización conduce a una caída de AoI y, por lo tanto, corresponde a un pico de AoI2. Cuando una actualización grande está en servicio, bloqueará todas las siguientes actualizaciones que están esperando en la cola, lo que da como resultado un gran retraso para todas esas actualizaciones y, por lo tanto, una gran PAoI correspondiente a estas actualizaciones. Por el contrario, en RANDOM, LCFS y SJF, el impacto de un problema de bloqueo de este tipo es mínimo para las actualizaciones que conducen a una caída de AoI.

A continuación, explicamos por qué en RANDOM, LCFS y SJF, mientras que el AoI promedio es sensible a la variabilidad del tamaño de actualización, el PAoI promedio no lo es. Primero consideramos LCFS. En la configuración que consideramos, existe una alta probabilidad de que la actualización más reciente tenga un tamaño pequeño. La entrega de actualizaciones tan pequeñas conduce a una pequeña PAoI. Cuando la actualización más reciente tiene un tamaño grande, el PAoI correspondiente también sería grande. Sin embargo, esto sucede con menos frecuencia. Por lo tanto, la trayectoria de AoI consistiría en un porcentaje menor de picos de AoI grandes con muchos picos de AoI pequeños en el medio. A medida que aumenta la variabilidad del tamaño de la actualización, habrá menos picos de AoI pero más grandes. En tales casos, mientras que el AoI promedio es sensible a los picos de AoI grandes (que provienen de la gran variabilidad del tamaño de actualización), el PAoI promedio es mucho menos sensible.

2 Considere una política no preventiva, la política LCFS, como ejemplo. Bajo LCFS, puede haber actualizaciones más antiguas esperando en la cola cuando se entrega una nueva actualización. Después de que esta nueva actualización finaliza el servicio, las actualizaciones anteriores que esperan en la cola se vuelven obsoletas y la entrega de cualquiera de estas actualizaciones anteriores no dará lugar a una caída de AoI.

Para ilustrar este hecho, proporcionamos un ejemplo en la Fig. 6, donde hay una gran actualización de tamaño n − 1, seguida inmediatamente por n pequeñas actualizaciones de tamaño 1. En este caso, podemos calcular el AoI promedio como ∆{{ 3}}[1×(n2/ 2− 12/2 ) más n ×(22 /2−12 /2)]/ ((n−1) más n)=(n2 más 3n−1) /(4n−2)= O(n) y calcule el PAoI promedio como A=(n más 2×n)/(n más 1)=3n/(n más 1)=O(3). Este ejemplo muestra que una variabilidad de tamaño de actualización más grande (es decir, un n más grande en este ejemplo) da como resultado un AoI promedio más grande, pero solo afecta mínimamente el PAoI promedio. Una explicación similar también se aplica a SJF y RANDOM.

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