Memorizar el método de Schröder como estrategia eficiente para estimar raíces de multiplicidad desconocida

Abstracto:

En este artículo, proponemos, hasta donde sabemos, el primer esquema iterativo con memoria para encontrar raíces cuya multiplicidad se desconoce existente en la literatura. Mejora la eficiencia de un procedimiento similar sin memoria gracias a Schröder y puede considerarse como una semilla para generar métodos de orden superior con características similares. Una vez estudiado su orden de convergencia, se analiza su estabilidad mostrando sus buenas propiedades, y se compara numéricamente en términos de sus cuencas de atracción con esquemas similares sin memoria para encontrar raíces múltiples.

La memoria es una parte importante de la inteligencia humana y una necesidad para el aprendizaje, el pensamiento, la creación y la vida humanos. Pero muchas personas descubren que su memoria es insuficiente y a menudo olvidan cosas importantes. La calidad de la memoria está estrechamente relacionada con la iteración de la memoria.

La llamada iteración de la memoria se refiere al fortalecimiento y consolidación continuo de la memoria en el proceso de aprendizaje repetido de un determinado punto de conocimiento o habilidad, y finalmente se transforma en memoria a largo plazo. Este proceso no sólo ayuda a consolidar los recuerdos sino que también mejora la cantidad y calidad de los mismos.

Entonces, ¿cómo iterar bien la memoria? En primer lugar, es necesario comprender completamente el contenido del aprendizaje. Sólo mediante una comprensión profunda el conocimiento puede quedar verdaderamente grabado en la mente y evitar el olvido. En segundo lugar, sigue revisando. La revisión repetida del conocimiento aprendido ayuda al cerebro a profundizar la impresión de reconocimiento, razonamiento y comprensión del conocimiento, mejorando así la memoria a largo plazo. Finalmente, utilice una variedad de métodos para ayudar a iterar en la memoria. Por ejemplo, puedes profundizar tu memoria haciendo mapas mentales, volviendo a contar, etc.

En resumen, la memoria iterativa es un proceso complejo e importante que requiere esfuerzo y perseverancia continuos. Sólo tratando la memoria iterativa como una forma de vida e integrándola en todos los aspectos del estudio, el trabajo y la vida diaria podremos mejorar continuamente nuestra memoria, permitirnos afrontar mejor los complejos desafíos laborales y de aprendizaje y mostrar un nuevo estilo personal. La pasta de carne es un material medicinal tradicional chino que tiene muchos efectos únicos, uno de los cuales es mejorar la memoria. La eficacia de la carne picada proviene de una variedad de ingredientes activos que contiene, incluidos ácido carboxílico, polisacáridos, flavonoides, etc. Estos ingredientes pueden promover la salud del cerebro a través de varios canales.

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Palabras clave:

Ecuaciones no lineales; métodos iterativos con memoria; raíces múltiples; libre de derivados; eficiencia; estabilidad.

1. Introducción

Existen en la literatura (ver, por ejemplo, la Referencia [1-8]) numerosos métodos iterativos sin memoria, que involucran o no derivadas, diseñados para estimar las raíces múltiples de una ecuación no lineal f(x)=0, pero la mayoría de ellos necesitan el conocimiento de la multiplicidad m de estas raíces.

Es bien conocido que el método de Schröder [9]:

al ser un parámetro real, requiere 4 evaluaciones de funciones por paso y ya no está libre de derivadas. Este método de Traub-Steffensen sobre g es demasiado caro y no se considera más.

La principal ventaja del esquema de Schröder es su independencia del conocimiento de la multiplicidad de la función no lineal, en contraste con el método de Newton modificado para raíces múltiples,

donde m es la multiplicidad de , que debe conocerse en este caso. Este esquema también se debió a Schröder (ver también la Referencia [9]), y lo denotamos por SM2. Este esquema es convergente de segundo orden y, por lo tanto, óptimo, en el sentido de la conjetura de Kung-Traub (ya que utiliza dos nuevas evaluaciones funcionales por iteración; consulte la Referencia [10]). Sin embargo, necesita el conocimiento de la multiplicidad, mientras que SM1 no lo utiliza; sin embargo, el principal inconveniente del esquema SM1 es su baja eficiencia, ya que necesita evaluar tres funciones no lineales (f(x), f 0 (x) y f 00(x)) por iteración.

Nuestro objetivo en este manuscrito es doble: por un lado, nos gustaría aumentar la eficiencia del esquema SM1, manteniendo su capacidad para encontrar múltiples raíces de multiplicidad m sin conocer m y, por otro lado, combinarlas en el mismo algoritmo. la capacidad de encontrar múltiples raíces con el uso de más de una iteración previa. Por tanto, proponemos un esquema iterativo con memoria para estimar múltiples raíces de multiplicidad desconocida. Hasta donde sabemos, no existe en la literatura ningún procedimiento iterativo que satisfaga estas propiedades.

En el análisis de la convergencia del esquema propuesto se deben tener en cuenta algunos aspectos, al ser un método iterativo con memoria por lo que se debe considerar el error en varias iteraciones previas y la multiplicidad de la raíz m también debe ser un elemento clave. de la manifestación, aunque se desconoce su valor concreto. Respecto a este hecho, cabe señalar que f (q) ( ) {{0}} para q=1, 2, . . . , m − 1 y f (m) ( ) 6= 0. Entonces, las expansiones de Taylor alrededor de f y f 0 que aparecen en la expresión iterativa deben tener en cuenta esta información.

Por otro lado, como nuestro esquema propuesto es un procedimiento iterativo que utiliza tres iteraciones previas para calcular la siguiente, es necesario expresar la ecuación de error en términos de sus errores correspondientes y, a partir de ello, deducir su orden de convergencia. Esto se hace utilizando un resultado clásico de Ortega y Rheinboldt [11], que se presenta a continuación.

Teorema 1. Sea ψ un método iterativo con memoria que genera una secuencia {xk} de aproximaciones a la raíz y permita que esta secuencia converja a . Si existe una constante distinta de cero η y números positivos ti, i=0, 1, . . . , m, tal que la desigualdad

En este manuscrito, la Sección 2 está dedicada al diseño y análisis de convergencia del método iterativo sin derivadas con memoria propuesto para encontrar raíces múltiples (sin el conocimiento de su multiplicidad). En la Sección 3 se analiza su estabilidad para deducir su dependencia de las estimaciones iniciales tanto para raíces simples como para raíces múltiples. En la Sección 4, se comprueba el rendimiento numérico del método en varias funciones de prueba, analizándose, así como sus correspondientes cuencas de atracción, en comparación con los métodos de Schröder existentes.

2. Diseño y análisis de convergencia

Nuestro punto de partida es el esquema sin derivadas con memoria debido a Traub [12],

La principal ventaja de este esquema es su capacidad para encontrar raíces simples, así como múltiples, de una función no lineal sin el conocimiento de la multiplicidad, con mejor eficiencia que SM1. Ciertamente, usando el índice de eficiencia de Ostrowski [13], ISM1=2 1 3 ≈ 1.25992 es menor que IgTM=1.841 2 ≈ 1.35647, donde cada índice I se calcula como p 1 d, con p siendo el orden de convergencia del método, y d la cantidad de nuevas evaluaciones funcionales por iteración.

En la siguiente sección, se realiza un análisis dinámico de este esquema, para mostrar su desempeño cualitativo en raíces simples y múltiples. Al ser un método iterativo con memoria se debe utilizar dinámica real multidimensional.

3. Estudio Cualitativo de los Métodos Iterativos Propuestos con Memoria para Raíz Múltiple

Remarquemos que nuestro método utiliza tres iteraciones previas para generar la siguiente; por lo tanto, se puede expresar en general como

donde x0, x−1 y x−2 son las estimaciones iniciales. Utilizando el procedimiento definido en la Referencia [14], este método se puede describir como un sistema dinámico multidimensional real discreto y se puede analizar su comportamiento cualitativo.

El desempeño cualitativo del sistema dinámico tiene un elemento clave en la caracterización de sus puntos fijos, en términos de estabilidad. Para calcular los puntos fijos de 1 SF Υ se puede definir una función vectorial auxiliar M: R3 −→ R3, relacionada con 1 SF Υ usando:

Además, si existe un valor propio λi de la matriz jacobiana M{{0}} evaluado en un punto fijo x ∗ que satisface |λi|< 1 y otro λj tal que |λj|> 1, entonces, x ∗ se llama punto fijo de silla. Como una extensión del concepto en dinámica unidimensional, si los valores propios de M0 (x ∗ ) satisfacen |λj |=0 para todos los valores de j=1, 2, . . . , m, entonces, el punto fijo x ∗ no sólo es atractivo sino también sobreatractivo. Por lo tanto, el método tiene convergencia cuadrática, al menos en la clase de funciones no lineales que derivan la función racional (ver Referencia [12]).

Al considerar x ∗ un punto fijo atractivo de M, su cuenca de atracción A(x ∗ ) se define como el conjunto de preimágenes de cualquier orden

Diferentes autores han estudiado el rendimiento cualitativo de diferentes esquemas iterativos diseñados para resolver ecuaciones no lineales con raíces múltiples (ver, por ejemplo, la Referencia [17-19]). Se ha realizado utilizando dinámicas complejas discretas, ya que todos estos esquemas no tienen memoria. En estos estudios se ha obtenido que, cuando un método iterativo (sin memoria) diseñado para encontrar raíces múltiples actúa sobre una función no lineal con raíces tanto simples como múltiples, es bastante habitual que las cuencas de atracción de raíces simples sean más estrechas que los de múltiples raíces. De hecho, esas raíces simples pueden definir puntos fijos de la función racional que son repulsivos. Por lo tanto, el método iterativo debería poder encontrar sólo múltiples raíces.

El siguiente análisis cualitativo se realiza sobre p(x)=(x + 1)(x − 1) m, m Mayor o igual a 1 para que la capacidad del esquema para encontrar tanto simples como Se prueban raíces múltiples (con multiplicidad m).

Una herramienta muy útil para visualizar los resultados analíticos es el plano dinámico del sistema, compuesto por un conjunto de diferentes cuencas de atracción. Aquí, el plano dinámico del método gTM propuesto se construye calculando la órbita de una malla de 800 × 800 puntos iniciales (z, x) para un valor fijo de w en la cuadrícula inicial. Como los esquemas iterativos necesitan comenzar con tres estimaciones iniciales, generamos una malla de planos dinámicos, cada uno de ellos con un valor fijo de w en el intervalo [−1.75, 1.75]. En estos retratos de fase, cada punto de la malla está pintado de diferentes colores (naranja y verde en este caso), dependiendo del atractor al que convergen (marcado como una estrella blanca), con una tolerancia de 10−3. Además, aparecen en negro si la órbita no ha alcanzado ningún punto fijo atractivo en un máximo de 500 iteraciones. A medida que el valor fijo de w cambia en un vector de valores pertenecientes a [−1,75, 1,75], se obtiene una composición de cifras para cada multiplicidad, dando lugar a una especie de gráfico de contorno.

En la Figura 1, mostramos el desempeño del esquema gTM en p(x), es decir, del operador racional TM para raíces simples. Al observar el comportamiento de las diferentes gráficas con las tres primeras iteraciones variando cada una en [−2, 2], se observa la viabilidad estable. Las cuencas de atracción de las raíces son las únicas; son amplios, y el único comportamiento diferente (mejor que otros en términos de simplicidad del límite entre las cuencas) es el caso w=0, donde la función racional está simplificada. En todos los casos se observa que el único comportamiento posible del método gTM es la convergencia a las raíces.

Por otro lado, en la Figura 2 mostramos un comportamiento muy similar cuando una de las raíces es doble y la otra es simple. Las cuencas de atracción son igualmente amplias y este comportamiento es muy similar cuando se han explorado otras multiplicidades. Además, en este caso se puede observar que sólo hay convergencia hacia las raíces, ya que las zonas más oscuras sólo tienen una convergencia más lenta, debido a la mayor complejidad de los límites de las cuencas de atracción.

4. Rendimiento numérico y pruebas dinámicas

En esta sección, comparamos tres métodos, a saber, SM2 (que requiere el conocimiento de la multiplicidad), SM1 y gTM (derivado del método de Traub). Los dos últimos métodos no requieren el conocimiento de la multiplicidad, pero sí requieren evaluaciones funcionales adicionales por paso de iteración (tres en el caso de SM1, dos en el caso de gTM).

Los métodos se comparan tanto cualitativamente a través de cuencas de cifras de atracción como cuantitativamente a través de varias medidas. Estas medidas son el tiempo de ejecución de la CPU para ejecutar el método en puntos en un cuadrado de 6 por 6 centrado en el origen. Dividimos el cuadrado por líneas horizontales y verticales distribuidas uniformemente y tomamos todos los puntos de intersección como puntos iniciales para el proceso iterativo.

Para TM, un método con memoria, tuvimos que tomar dos puntos de partida adicionales x−1=x0 + d y x−2=x0 + 2d, donde d es el espaciado de las líneas. Otro criterio recogido por el código es el número medio de iteraciones por punto (AIPP), pero, dado que los métodos requieren un número diferente de evaluaciones funcionales por paso, tomamos el número medio de funciones por punto (AFPP). El tercer criterio es el número de puntos divergentes (DP), que es el número de puntos para los cuales el método no convergió en 40 iteraciones utilizando una tolerancia de 10-7.

Según la Figura 3, está claro que SM1 y SM2 tienen cuencas similares y gTM tiene más lóbulos en el límite entre las dos cuencas. En la Figura 4, notamos que gTM es mejor que SM1. En las siguientes 3 figuras, gTM es mejor, con cuencas de atracción más amplias y áreas negras más estrechas sin convergencia con las raíces. Este rendimiento se mantiene incluso para la función no polinómica f5. Además, en la Figura 8, se puede observar que las cuencas de atracción del método SM2 son más anchas que las de nuestro método gTM.

Ahora nos referimos a los datos de las Tablas 1 a 3. El tiempo de ejecución de la CPU en segundos se muestra en la Tabla 2. SM2 es consistentemente más rápido que los demás. Si no se conoce la multiplicidad, entonces gTM es más rápido que SM1, excepto en el primer ejemplo. En promedio, gTM es más rápido que SM1.

El número promedio de evaluaciones de funciones por punto (consulte la Tabla 2) es el más alto para SM1 en todos los ejemplos. Tenga en cuenta que el último ejemplo es el más difícil para todos los métodos. El número de puntos divergentes es el más bajo para gTM en los ejemplos 1, 3 y 4. SM1 tiene los puntos más divergentes para los primeros 6 ejemplos, pero, en el último ejemplo, gTM tuvo un desempeño deficiente y quedó en tercer lugar en general. El método SM2 fue mejor, en promedio, para las 3 categorías seguido por gTM para 2 categorías.

5. Conclusiones

Se ha construido un nuevo esquema iterativo con memoria con capacidad de encontrar raíces tanto simples como múltiples (sin necesidad de conocer su multiplicidad). Es, hasta donde sabemos, el primer método con estas propiedades en la literatura. Se ha demostrado que su orden de convergencia es aproximadamente 1,84 con dos nuevas evaluaciones funcionales por iteración; esto produce el esquema para mejorar la eficiencia del esquema de Schröder sin memoria SM1, que tiene propiedades similares. Utilizando dinámica discreta real multidimensional y polinomios de bajo grado con raíces simples y múltiples, se ha analizado la estabilidad del esquema propuesto, mostrando amplias áreas de convergencia para ambos tipos de raíces.

En la última sección, los métodos de Schröder y gTM aplicados a varios ejemplos nos han permitido concluir que, si se conoce la multiplicidad de antemano, entonces SM1 y gTM no pueden competir, aunque gTM sea mejor que SM1. Sin embargo, cuando no se conoce la multiplicidad, el método propuesto gTM muestra un muy buen desempeño y mejor eficiencia que los métodos SM1, en términos de tiempo de ejecución, costo computacional y amplitud de las cuencas de atracción.

Contribuciones de autor:

Conceptualización, AC y JRT; metodología, BN; software, AC y BN; validación, BN; análisis formal, JRT; investigación, AC; redacción: preparación del borrador original, AC y BN; redacción: revisión y edición, JRT; supervisión, BN y JRT Todos los autores han leído y aceptado la versión publicada del manuscrito.

Fondos:

Esta investigación fue parcialmente financiada por PGC2018-095896-B-C22 (MCIU/AEI/FEDER, UE).

Declaración de consentimiento informado:

No aplica.

Expresiones de gratitud:

Los autores desean agradecer a los revisores anónimos por sus sugerencias y comentarios que han mejorado la versión final de este manuscrito.

Conflictos de interés:

Los autores declaran no tener ningún conflicto de intereses.

Referencias

1. Petkovi´c, M.; Neta, B.; Petkovi´c, L.; Džuni´c, J. Métodos multipunto para resolver ecuaciones no lineales; Prensa académica: Oxford, Reino Unido, 2013.

2. Amat, S.; Busquier, S. Avances en métodos iterativos para ecuaciones no lineales; SEMA SIMAI Springer Serie 10; Springer: Cham, Suiza, 2016.

3. Behl, R.; Cordero, A.; Torregrosa, JR Un nuevo esquema óptimo sin derivados de orden superior para raíces múltiples. J. Computación. Aplica. Matemáticas. 2021, 113773, en prensa. [Referencia cruzada]

4. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Cesarano, C.; Aggarwal, P.; Chu, YM Un algoritmo numérico óptimo sin derivadas de cuarto orden para raíces múltiples. Simetría 2020, 12, 1038. [CrossRef]

5. Akram, S.; Akram, F.; Junjua, M.; Arshad, M.; Afzal, T. Una familia de funciones iterativas óptimas de octavo orden para raíces múltiples y su dinámica. J. Matemáticas. 2021, 77, 1249–1272.

6. Sharma, JR; Arora, H. Una familia de métodos iterativos de quinto orden para encontrar raíces múltiples de ecuaciones no lineales. Número. Anal. Aplica. 2021, 14, 186–199. [Referencia cruzada]

7. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Argyros, IK Una clase eficiente de método sin derivadas de cuarto orden para raíces múltiples. En t. J. Ciencia no lineal. Número. Simultáneo. 2021. [Referencia cruzada]

8. Zafar, F.; Cordero, A.; Torregrosa, JR Una familia de métodos óptimos de cuarto orden para raíces múltiples de ecuaciones no lineales. Matemáticas. Métodos de aplicación. Ciencia. 2020, 43, 7869–7884. [Referencia cruzada]

9. Schröder, E. Über unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen. Matemáticas. Ana. 1870, 2, 317–365. [Referencia cruzada]

10. Kung, HT; Traub, JF Orden óptimo de iteración de un punto y multipunto. J. Asociación. Computadora. Mach. 1974, 21, 643–651. [Referencia cruzada]

11. Ortega, JM; Rheinboldt, WC Solución iterativa de ecuaciones no lineales en varias variables; Prensa académica: Cambridge, MA, EE. UU., 1970.

12. Traub, JF Métodos iterativos para la solución de ecuaciones; Prentice-Hall: Hoboken, Nueva Jersey, EE. UU., 1964.

13. Ostrowski, AM Soluciones de ecuaciones y sistemas de ecuaciones; Prensa académica: Nueva York, NY, EE. UU.; Londres, Reino Unido, 1966.

14. Campos, B.; Cordero, A.; Torregrosa, JR; Vindel, P. Un enfoque dinámico multidimensional de métodos iterativos con memoria. Aplica. Matemáticas. Computadora. 2015, 271, 701–715. [Referencia cruzada]

15. Devaney, RL Introducción a los sistemas dinámicos caóticos; Avances en Matemáticas e Ingeniería; Prensa CRC: Boca Ratón, FL, EE. UU., 2003.

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